什么是信号的变换？

标签：数字信号处理，傅里叶变换

概述：从基函数的级数看待信号变换。

信号的变换只是把原有信号用另一种组合表示出来。

简单理解，我们煮方便面时，加一块面饼，一包调料，这是时间域的说法，很多种成分混在一起，统称一包调料。改成2两淀粉，10克盐，0.1g糖这样说，就是频率域的说法。

用方位来理解，珠穆朗玛峰我们都知道在哪，用经纬度表示则为。这里引入线性代数中的“基”或者“基函数”这一概念。基，即为基础。经纬度在方位系统中就代表了一种基。且满足两个重要的性质：

1、正交性。即，如果小明向北走一步，那么他在东西方向上没动。南北向和东西向互不影响。

2、完备性。即，地球上任何位置都能用两个数字代表的经纬度表示，任何敌方。这里珠穆朗玛峰的位置就是由一个维度为2的基表示出来的，在线性代数中维度也叫“秩(rank)”。

基的概念无处不在。有了基，假如我们想从北京到上海，需要东经方向走1000步，南纬方向走10000步。这里的两个步数，就代表这个基的方向上要走多远，也就是数学中“系数”的概念。系数这个概念我们见过很多次了，是用于放大一个倍数时候的这个倍数。比如$y=kx+b$,$k$就是那个系数。

比如一个数字，$2.533$。它就可以用一套基函数表示，$10^0,10^{-1},10^{-2},10^{-3}$,每个基对应的系数分别是$2,5,3,3$，即$2.533=2\cdot 10^{0}+5\cdot 10^{-1}+3\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}$

我们有了基函数和对应的系数，此时一个叫威尔斯特拉斯的猛男说，选定了基函数(正交完备的)，那么任意信号都能被表示出来，且唯一。这有什么用处？

任意信号都能被表示出来，说明我们不怕特例。唯一，则说明可以正变换，然后逆变换，信号不变。

关于基函数和系数的理解，可以参考一个级数的概念，高数中学过泰勒级数，泰勒级数的“基函数”就是导数项$f^0(x),f^1(x)…f^n(x)$，导数项的系数为$\frac{(x-x_0)^n}{n!}$。如果是在0点展开的泰勒级数(假设收敛，以后再说)，那就更简单，就是x的多项式的级数，即基函数为$x^0,x^1,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6…x^n$。

对于一个性质好的函数(实际物理世界的信号性质都还不错)，可以使用零点的泰勒级数展开，我们很熟悉这个操作，展开后一个多项式。假如我们从外星人那里收到了一段信号，间隔1秒发送一个数字，测量发现是$1,-\frac 1 3,\frac 1 5,-\frac 1 7…(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$,外星人想说什么？这串数列，是一个经典的级数的系数序列，系数乘以对应多项式求和$1\cdot x+(-\frac 1 3)\cdot x^3+\frac 1 5\cdot x^5…$,$x$取值为两个数字之间的间隔1秒，答案是$\frac {\pi} 4$。

回到信号，它也有它的“基”。用数学的语言表达，还是假设一秒测量一个数。测量到一串数，$x[0],[1],x[2],x[3],x[4]…$，这是时间域信号的系数。基函数是什么呢？就是第一秒，第二秒$…$，即$\delta(0),\delta(1),\delta(2),\delta(3)…$。时间域信号的完整表达就是$x[0]\cdot \delta(0)+x[1]\cdot \delta(1)+x[2]\cdot \delta(2)+x[3]\cdot \delta(3)…$

还是原来的信号，有没有更酷炫的表示方式？有的，兄弟，有的。用新的基函数$e^{jwt}，w\in(-\infty,\infty)$(关于这个基函数，我们稍后再说),再稍微计算得到每个基函数对应的系数(是个复数)，就完工了，流程很简单。从方便理解的角度考虑，我们的频率也选离散的，基函数为$e^{jw[0]t},e^{jw[1]t},e^{jw[2]t},…$,对应基函数的系数表示为$A[0],A[1],A[2]…$(取自Amplitude首字母)。原信号在频率域即可表示为$A[0]\cdot e^{jw[0]t}+A[1]\cdot e^{jw[1]t}+A[2]\cdot e^{jw[2]t}…$。

到此变换完成，很流程化的工作。